L'une des méthodes les plus courantes pour estimer le risque est l'utilisation d'une simulation Monte Carlo (MCS). Par exemple, pour calculer la valeur à risque (VaR) d'un portefeuille, nous pouvons effectuer une simulation de Monte Carlo qui tente de prédire la pire perte probable pour un portefeuille donné un intervalle de confiance sur un horizon temporel donné - nous devons toujours spécifier deux conditions de la VaR: confiance et horizon. (Pour une lecture connexe, voir Utilisations et limites de la volatilité et Introduction à la valeur à risque (VAR) - Partie 1 et Partie 2 .

Dans cet article, nous examinerons un MCS de base appliqué à un cours de bourse. Nous avons besoin d'un modèle pour spécifier le comportement du cours de l'action, et nous utiliserons l'un des modèles les plus courants en finance: le mouvement brownien géométrique (GBM). Par conséquent, alors que la simulation de Monte Carlo peut se référer à un univers d'approches différentes de la simulation, nous commencerons ici par le plus basique.

Par où commencer Une simulation de Monte Carlo est une tentative de prédire le futur plusieurs fois. À la fin de la simulation, des milliers ou des millions d '«essais aléatoires» produisent une distribution des résultats qui peuvent être analysés. Les étapes de base sont:

1. Spécifiez un modèle (par exemple, mouvement brownien géométrique)
2. Générer des essais aléatoires
3. Traiter la sortie

1. Spécifiez un modèle (par exemple GBM)
Dans cet article, nous utiliserons le mouvement géométrique brownien (GBM), qui est techniquement un processus de Markov. Cela signifie que le cours des actions suit une marche aléatoire et correspond à (au moins) la forme faible de l'hypothèse de marché efficace (EMH): les informations sur les prix passés sont déjà incorporées et le prochain mouvement de prix est "conditionnellement indépendant" du passé mouvements de prix. (Pour en savoir plus sur EMH, lisez Travailler sur l'hypothèse d'un marché efficace et Qu'est-ce que l'efficience du marché? )

La formule pour GBM est trouvée ci-dessous, où "S" est le prix de l'action, "m" (le grec mu) est le rendement attendu, "s" (sigma grec) est l'écart-type de rendements, "t" est le temps, et "e" (epsilon grec) est la variable aléatoire:

Si nous réorganisons la formule à résoudre juste pour la variation du prix des actions, nous voyons que GMB dit la variation du cours des actions est le prix de l'action "S" multiplié par les deux termes trouvés dans la parenthèse ci-dessous:

Le premier terme est une "dérive" et le second terme est un "choc". Pour chaque période de temps, notre modèle suppose que le prix «dérivera» en fonction du rendement attendu. Mais la dérive sera choquée (ajoutée ou soustraite) par un choc aléatoire. Le choc aléatoire sera l'écart-type "s" multiplié par un nombre aléatoire "e". C'est simplement un moyen d'augmenter l'écart-type.

C'est l'essence de GBM, comme l'illustre la figure 1. Le cours de l'action suit une série d'étapes, où chaque étape est une dérive plus / moins un choc aléatoire (lui-même fonction de l'écart type du stock): > Figure 1

2.Générer des essais aléatoires

Armés d'une spécification de modèle, nous procédons ensuite à des essais aléatoires. Pour illustrer, nous avons utilisé Microsoft Excel pour exécuter 40 essais. Gardez à l'esprit que c'est un petit échantillon irréaliste; la plupart des simulations ou "sims" exécutent au moins plusieurs milliers d'essais. Dans ce cas, supposons que le stock commence le jour zéro avec un prix de 10 $. Voici un tableau du résultat où chaque pas de temps (ou intervalle) est d'un jour et la série dure dix jours (en résumé: quarante essais avec des pas quotidiens sur dix jours):

Figure 2: Mouvement brownien géométrique > Le résultat est une quarantaine de cours boursiers simulés au bout de 10 jours. Aucun n'est tombé en dessous de 9 $, et un est supérieur à 11 $.

3. Traiter la sortie

La simulation a produit une distribution des résultats futurs hypothétiques. Nous pourrions faire plusieurs choses avec la sortie. Si, par exemple, nous voulons estimer la VaR avec un niveau de confiance de 95%, il nous suffit de trouver le résultat du trente-huitième rang (le troisième résultat le plus défavorable). C'est parce que 2/40 équivaut à 5%, donc les deux plus mauvais résultats sont dans les 5% les plus bas.

Si nous empilons les résultats illustrés dans des cases (chaque case est le tiers de 1 $, donc trois cases couvrent l'intervalle de 9 $ à 10 $), nous obtiendrons l'histogramme suivant: Figure 3

que notre modèle GBM assume la normalité: les rendements des cours sont normalement distribués avec le retour attendu (moyenne) "m" et l'écart type "s". Fait intéressant, notre histogramme ne semble pas normal. En fait, avec plus d'essais, il ne tendra pas vers la normalité. Au lieu de cela, il tendra vers une distribution lognormale: une forte baisse à gauche de la moyenne et une «longue queue» très asymétrique à droite de la moyenne. Cela conduit souvent à une dynamique potentiellement confuse pour les nouveaux étudiants:

Les

rendements

• sont normalement distribués. Les prix niveaux
• sont distribués normalement. Pensez-y de la façon suivante: un titre peut augmenter ou diminuer de 5% ou 10%, mais après un certain laps de temps, le cours de l'action ne peut pas être négatif. En outre, les augmentations de prix à la hausse ont un effet de combinaison, tandis que les baisses de prix à la baisse réduisent la base: perdre 10% et vous êtes laissé avec moins de perdre la prochaine fois. Voici un graphique de la distribution lognormale superposée à nos hypothèses illustrées (par exemple prix de départ de 10 $): Figure 4

Sommaire

Une simulation Monte Carlo applique un modèle sélectionné (un modèle qui spécifie le comportement d'un instrument) à un grand nombre d'essais aléatoires dans le but de produire un ensemble plausible de résultats futurs possibles. En ce qui concerne la simulation des prix des actions, le modèle le plus courant est le mouvement brownien géométrique (GBM). GBM suppose qu'une dérive constante s'accompagne de chocs aléatoires. Alors que les retours de période sous GBM sont normalement distribués, les niveaux de prix consécutifs à plusieurs périodes (par exemple, dix jours) sont lognormalement distribués.

Consultez le didacticiel de David Harper, Simulation Monte Carlo avec mouvement brownien géométrique

, pour en savoir plus sur ce sujet.