Il est assez difficile de s'entendre sur le prix exact de tout bien échangeable, même aujourd'hui. C'est pourquoi les prix des actions ne cessent de changer. En réalité, la société ne change guère sa valorisation au jour le jour, mais le prix de l'action et sa valorisation changent chaque seconde. Cela montre qu'il est difficile de parvenir à un consensus sur le prix actuel de tout actif négociable, ce qui conduit à des opportunités d'arbitrage. Cependant, ces opportunités d'arbitrage sont vraiment de courte durée.

Tout se résume à la valorisation actuelle - quel est le bon prix actuel aujourd'hui pour un bénéfice futur attendu?

Dans un marché concurrentiel, pour éviter les opportunités d'arbitrage, les actifs ayant des structures de paiement identiques doivent avoir le même prix. L'évaluation des options a été une tâche difficile et des variations importantes des prix ont été observées, ce qui a conduit à des opportunités d'arbitrage. Black-Scholes reste l'un des modèles les plus populaires utilisés pour les options de tarification, mais a ses propres limites. (Pour plus d'informations, voir: Options Prix ). Le modèle d'évaluation binomiale des options est une autre méthode couramment utilisée pour les options de tarification. Cet article présente quelques exemples détaillés étape par étape et explique le concept neutre de risque sous-jacent dans l'application de ce modèle. (Pour une lecture connexe, voir: Décomposer le modèle binomial pour évaluer une option ).

Cet article suppose que l'utilisateur connaît les options et les concepts et termes associés.

Supposons qu'il existe une option d'achat sur un titre particulier dont le cours actuel est de 100 $. L'option ATM a un prix d'exercice de 100 $ avec un délai d'expiration d'un an. Il y a deux négociants, Peter et Paul, qui conviennent tous les deux que le prix de l'action passera à 110 $ ou chutera à 90 $ dans un an. Ils sont tous les deux d'accord sur les niveaux de prix attendus dans un délai donné d'un an, mais ne sont pas d'accord sur la probabilité d'un mouvement ascendant (et d'un mouvement à la baisse). Peter estime que la probabilité d'un cours de bourse de 110 $ est de 60%, alors que Paul croit qu'il est de 40%.

D'après ce qui précède, qui serait prêt à payer plus cher pour l'option d'achat?

Peut-être Peter, car il s'attend à une forte probabilité de mouvement.

Voyons les calculs pour vérifier et comprendre cela. Les deux actifs dont dépend l'évaluation sont l'option d'achat et l'action sous-jacente. Les participants s'entendent pour dire que le cours de l'action sous-jacente peut passer de 100 $ actuellement à 110 $ ou 90 $ dans une année, et qu'il n'y a pas d'autres mouvements de prix possibles.

Dans un monde sans arbitrage, si nous devons créer un portefeuille composé de ces deux actifs (options d'achat et actions sous-jacentes) de sorte que quel que soit le lieu du cours (110 $ ou 90 $), le rendement net du portefeuille reste le même.Supposons que nous achetions des actions «d» d'une option d'achat sous-jacente et courte pour créer ce portefeuille.

Si le prix atteint 110 $, nos actions auront une valeur de 110 $ * d et nous perdrons 10 $ sur les gains d'appel à court terme. La valeur nette de notre portefeuille sera (110d - 10).

Si le prix descend à 90 $, nos actions auront une valeur de 90 $ * d et l'option expirera sans valeur. La valeur nette de notre portefeuille sera (90d).

Si nous voulons que la valeur de notre portefeuille reste la même, quel que soit l'endroit où se trouve le cours de l'action sous-jacente, la valeur de notre portefeuille devrait rester la même dans les deux cas, i. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. e. si nous achetons la moitié d'une action (en supposant que des achats fractionnaires soient possibles), nous réussirons à créer un portefeuille de sorte que sa valeur reste la même dans les deux états possibles dans le délai donné d'un an. (point 1)

Cette valeur du portefeuille, indiquée par (90d) ou (110d -10) = 45, est inférieure d'un an. Pour calculer sa valeur actuelle, il peut être actualisé par un taux de rendement sans risque (en supposant 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 an) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Valeur actuelle du portefeuille

Depuis, le portefeuille comprend actuellement ½ action du sous-jacent ( avec un prix de marché de 100 $) et 1 appel court, il devrait être égal à la valeur actuelle calculée ci-dessus i. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * prix d'appel = 42. 85

=> Prix d'appel = 7 $. 14 i. e. le prix d'appel à partir d'aujourd'hui.

Comme cela est basé sur l'hypothèse ci-dessus que la valeur du portefeuille reste la même quel que soit le prix sous-jacent (point 1 ci-dessus), la probabilité de mouvement ascendant ou descendant ne joue aucun rôle ici. Le portefeuille reste sans risque, quels que soient les mouvements de prix sous-jacents.

Dans les deux cas (supposé être en hausse à 110 $ et en baisse à 90 $), notre portefeuille est neutre au risque et génère un taux de rendement sans risque.

D'où les deux commerçants, Peter et Paul, seront prêts à payer le même 7 $. 14 pour cette option d'achat, indépendamment de leurs propres perceptions différentes des probabilités de mouvements ascendants (60% et 40%). Leurs probabilités individuellement perçues ne jouent aucun rôle dans la valorisation des options, comme le montre l'exemple ci-dessus.

Si l'on suppose que les probabilités individuelles importent, alors il y aurait eu des opportunités d'arbitrage. Dans le monde réel, de telles opportunités d'arbitrage existent avec de légères différences de prix et disparaissent à court terme.

Mais où est la volatilité de ces calculs, qui est un facteur important (et le plus sensible) affectant le prix des options?

La volatilité est déjà incluse dans la nature de la définition du problème. Rappelez-vous que nous supposons deux (et seulement deux - et donc le nom "binomial") états des niveaux de prix (110 $ et 90 $). La volatilité est implicite dans cette hypothèse et donc automatiquement incluse - 10% dans les deux cas (dans cet exemple).

Passons maintenant à un test de santé mentale pour voir si notre approche est correcte et cohérente avec les prix Black-Scholes couramment utilisés. (Voir: Le modèle d'évaluation des options de Black et Scholes ).

Voici les captures d'écran des résultats des calculatrices d'options (gracieuseté de OIC), qui correspondent de près à notre valeur calculée.

Malheureusement, le monde réel n'est pas aussi simple que «seulement les deux états». Il existe plusieurs niveaux de prix qui peuvent être atteints par le stock jusqu'à la date d'expiration.

Est-il possible d'inclure tous ces niveaux multiples dans notre modèle de tarification binomiale qui est limité à deux niveaux seulement? Oui, c'est très possible, et pour le comprendre, passons à des mathématiques simples.

Quelques étapes de calcul intermédiaires sont ignorées pour rester synthétiques et focalisées sur les résultats.

Pour aller plus loin, généralisons ce problème et cette solution:

'X' est le cours actuel du stock et 'X * u' et 'X * d' sont les prix futurs des mouvements de haut en bas 't ' des années plus tard. Le facteur «u» sera supérieur à 1 car il indique le mouvement ascendant et «d» sera compris entre 0 et 1. Pour l'exemple ci-dessus, u = 1. 1 et d = 0. 9.

Les gains de l'option d'achat sont 'P _haut ' et 'P _dn ' pour les mouvements haut et bas, au moment de l'expiration.

Si nous constituons un portefeuille d'actions achetées aujourd'hui et une option d'achat à découvert, puis après le temps 't':

Valeur du portefeuille en cas de mouvement ascendant = s * X * u - P

Valeur du portefeuille en cas de mouvement à la baisse = s * X * d - P _dn

Pour une valorisation similaire dans les deux cas,

=> s * X * u - P < haut _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

haut _{- P} dn _{) / (X * (ud )) = le non. des actions à acheter pour un portefeuille sans risque} La valeur future du portefeuille à la fin des années 't' sera

En cas de mouvement up = s * X * u - P

up _{= (P} haut _{- P} dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} haut _{La valeur actuelle de ci-dessus peut être obtenue en actualisant avec un taux de rendement sans risque:}

Cela devrait correspondre à la détention de portefeuille d'actions au prix X et à la valeur d'achat à court terme «c» i. e. la détention actuelle de (s * X - c) devrait correspondre à ci-dessus. Résoudre pour c donne finalement c comme:

SI NOUS COURT LA PRIME D'APPEL DEVRAIT ÊTRE COMPLÉMENTAIRE AU PORTEFEUILLE SANS SOUSTRACTION.

Une autre façon d'écrire l'équation ci-dessus est de la réarranger comme suit:

Prendre q comme

alors l'équation ci-dessus devient

Réorganiser l'équation en termes de "q" offre une nouvelle perspective.

"q" peut maintenant être interprété comme la probabilité du mouvement ascendant du sous-jacent (comme "q" est associé à P

jusqu'à _{et "1-q" est associé à P} dn _{). Dans l'ensemble, l'équation ci-dessus représente le prix actuel de l'option i. e. la valeur actualisée de son paiement à l'échéance.} En quoi cette probabilité "q" est-elle différente de la probabilité de mouvement ascendant ou descendant du sous-jacent?

La valeur du cours de l'action à l'instant t = q * X * u + (1-q) * X * d

Substituant la valeur de q et réarrangeant, le cours de l'action à l'instant t est

i . e. dans ce monde supposé de deux états, le prix du stock augmente simplement par le taux de rendement sans risque, i. e. exactement comme un actif sans risque et par conséquent, il reste indépendant de tout risque.Tous les investisseurs sont indifférents au risque selon ce modèle, ce qui constitue le modèle sans risque.

Les probabilités «q» et «(1-q)» sont connues sous le nom de probabilités sans risque et la méthode d'évaluation est connue sous le nom de modèle d'évaluation sans risque.

L'exemple ci-dessus a une exigence importante - la structure de paiement future est requise avec précision (niveau 110 $ et 90 $). Dans la vie réelle, une telle clarté sur les niveaux de prix par étapes n'est pas possible; plutôt le prix se déplace au hasard et peut se régler à plusieurs niveaux.

Développons l'exemple plus loin. Supposons que les niveaux de prix en deux étapes sont possibles. Nous connaissons la deuxième étape des gains finaux et nous devons évaluer l'option aujourd'hui (c'est-à-dire à l'étape initiale)

En arrière, la première évaluation intermédiaire (en t = 1) peut être effectuée en utilisant les gains finaux 2), puis en utilisant la première évaluation calculée (t = 1), la valeur actuelle (t = 0) peut être atteinte en utilisant les calculs ci-dessus.

Pour obtenir le prix de l'option non. 2, les gains à 4 et 5 sont utilisés. Pour obtenir des prix pour non. 3, les gains à 5 et 6 sont utilisés. Finalement, les gains calculés aux points 2 et 3 sont utilisés pour obtenir les prix au no. 1.

Veuillez noter que notre exemple suppose le même facteur de déplacement vers le haut (et vers le bas) aux deux étapes - u (et d) sont appliqués de manière composée.

Voici un exemple de travail avec des calculs:

Supposons qu'une option de vente avec un prix d'exercice de 110 $ s'échange actuellement à 100 $ et expire dans un an. Le taux annuel sans risque est de 5%. Le prix devrait augmenter de 20% et diminuer de 15% tous les six mois.

Structurons le problème:

Ici, u = 1. 2 et d = 0, 85, X = 100, t = 0. 5

en utilisant la formule dérivée de

ci-dessus, on obtient q = 0. 35802832

valeur de l'option de vente au point 2,

à la condition P

upup _{*1. 2 * 1. 2 = 144 $ menant à P} upup _{= zéro} À condition P

updn _{, le sous-jacent sera = 100 * 1. 2 * 0. 85 = 102 $ menant à P} updn _{= 8} À condition P

dndn _{, le sous-jacent sera = 100 * 0. 85 * 0. 85 = 72 $. 25 menant à P} dndn _{= 37 $. 75} p

2 _{= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 0 + (1-0 35802832) * 8) = 5. 008970741} De même, p

3 > = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 8 + (1-0 35802832) * 37. 75) = 26. 42958924 _{Et donc la valeur de l'option put, p} 1

= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 5 008970741+ (1-0 35802832) * 26. 42958924) = _{18 $. 29.} De même, les modèles binomiaux permettent de rompre toute la durée de l'option pour affiner plusieurs étapes / niveaux. À l'aide de programmes informatiques ou de tableurs, on peut travailler en arrière, étape par étape, pour obtenir la valeur actuelle de l'option souhaitée. Terminons par un exemple de trois étapes pour l'évaluation des options binomiales:

Supposons une option de vente de type européen, ayant 9 mois à échéance avec un prix d'exercice de 12 $ et un prix sous-jacent actuel de 10 $. Supposons un taux sans risque de 5% pour toutes les périodes. Supposons que chaque mois, le prix sous-jacent peut monter ou descendre de 20%, ce qui nous donne u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. Arbre binomial de 25 et 3 étapes.

Les chiffres en rouge indiquent les prix sous-jacents, tandis que ceux en bleu indiquent le paiement de l'option de vente.

Probabilité neutre du risque q calculée à 0. 531446.

En utilisant la valeur ci-dessus de q et les valeurs de gain à t = 9 mois, les valeurs correspondantes à t = 6 mois sont calculées comme:

De plus, en utilisant ces les valeurs calculées à t = 6, les valeurs à t = 3 et ensuite à t = 0 sont:

donnant la valeur actuelle de l'option de vente à 2 $. 18, qui est assez proche de celui calculé avec le modèle de Black-Scholes (2, 3)

The Bottom Line

Bien que l'utilisation de programmes informatiques puisse faciliter beaucoup de ces calculs intensifs, la prévision des prix futurs reste une limitation majeure des modèles binomiaux pour la tarification des options. Plus les intervalles de temps sont fins, plus il est difficile de prévoir avec précision les gains à la fin de chaque période. Cependant, la flexibilité d'incorporer les changements attendus à différentes périodes de temps est un atout supplémentaire, ce qui le rend approprié pour la tarification des options américaines, y compris les évaluations anticipées d'exercice. Les valeurs calculées à l'aide du modèle binomial correspondent étroitement à celles calculées à partir d'autres modèles couramment utilisés tels que Black-Scholes, ce qui indique l'utilité et la précision des modèles binomiaux pour la tarification des options. Les modèles de tarification binomiale peuvent être développés en fonction des préférences du trader et fonctionnent comme une alternative à Black-Scholes.