À un moment ou à un autre de votre vie, vous avez peut-être dû effectuer une série de paiements fixes sur une période donnée - comme des paiements de loyer ou de voiture - ou avoir reçu une série de paiements sur une période de temps, tels que les coupons de liaison. Ce sont les annuités. Si vous comprenez la valeur temporelle de l'argent, vous êtes prêt à en apprendre davantage sur les rentes et comment leurs valeurs actuelles et futures sont calculées.

Que sont les rentes?

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Les rentes sont essentiellement une série de paiements fixes exigés de vous ou qui vous sont versés à une fréquence donnée au cours d'une période déterminée. Les fréquences de paiement les plus courantes sont annuelles, semestrielles (deux fois par an), trimestrielles et mensuelles. Il existe deux types de rentes: les rentes ordinaires et les rentes échues.

• Rente ordinaire: Les paiements sont exigés à la fin de chaque période. Par exemple, les obligations simples versent habituellement des coupons à la fin de chaque semestre jusqu'à la date d'échéance de l'obligation.
• Rente due: Les paiements sont exigés au début de chaque période. Le loyer est un exemple de rente due. Vous êtes généralement tenu de payer le loyer lors de votre premier déménagement au début du mois, puis le premier de chaque mois par la suite.

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Comme les calculs de la valeur actuelle et future des rentes ordinaires - et des annuités dues sont légèrement différents - nous allons d'abord discuter du calcul de la valeur actuelle et future pour les annuités ordinaires.

Calcul de la valeur future d'une rente ordinaire

Si vous savez combien vous pouvez investir par période pendant une certaine période, la valeur future (VF) d'une formule de rente ordinaire est utile pour savoir combien vous auriez avoir à l'avenir en investissant à votre taux d'intérêt donné. Si vous effectuez des paiements sur un prêt, la valeur future est utile pour déterminer le coût total du prêt.

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Passons maintenant à l'exemple 1. Envisagez le calendrier de flux de trésorerie de la rente suivant:

Pour calculer la valeur future de la rente, nous devons calculer la valeur future de chaque flux de trésorerie. Supposons que vous recevez 1 000 $ chaque année pour les cinq prochaines années, et que vous avez investi chaque paiement à 5%. Le diagramme suivant montre combien vous auriez à la fin de la période de cinq ans:

Puisque nous devons ajouter la valeur future de chaque paiement, vous avez peut-être remarqué que si vous avez une rente ordinaire avec beaucoup de flux de trésorerie, il faudrait beaucoup de temps pour calculer toutes les valeurs futures, puis les additionner. Heureusement, les mathématiques fournissent une formule qui sert de raccourci pour trouver la valeur accumulée de tous les flux de trésorerie reçus d'une rente ordinaire:

où C = Flux de trésorerie par période i = taux d'intérêt n = payments

En utilisant la formule ci-dessus pour l'exemple 1 ci-dessus, voici le résultat:

= 1000 $ * [5.53] = 5525 $. 63

Notez que la différence de 1 cent entre $ 5, 525, 64 et $ 5, 525, 63 est due à une erreur d'arrondi dans le premier calcul. Chaque valeur du premier calcul doit être arrondie au cent le plus proche - plus vous devez arrondir les nombres dans un calcul, plus les erreurs d'arrondi sont probables. Ainsi, la formule ci-dessus fournit non seulement un raccourci pour trouver le FV d'une annuité ordinaire, mais donne également un résultat plus précis.

Calcul de la valeur actualisée d'une rente ordinaire

Si vous souhaitez déterminer la valeur actuelle d'une série de paiements futurs, vous devez utiliser la formule qui calcule la valeur actuelle (PV) d'une rente ordinaire. C'est la formule que vous utiliseriez dans le cadre d'un calcul du prix des obligations. Le PV d'une rente ordinaire calcule la valeur actuelle des paiements de coupon que vous recevrez dans le futur.

Pour l'exemple 2, nous utiliserons le même barème des flux de trésorerie de la rente que celui de l'exemple 1. Pour obtenir la valeur actualisée totale, nous devons prendre la valeur actualisée de chaque paiement futur et, comme nous l'avons fait dans l'exemple 1 , ajoutez les flux de trésorerie ensemble.

Encore une fois, le calcul et l'ajout de toutes ces valeurs prendront beaucoup de temps, surtout si nous prévoyons de nombreux paiements futurs. En tant que tel, nous pouvons utiliser un raccourci mathématique pour PV d'une annuité ordinaire.

où C = Flux de trésorerie par période i = taux d'intérêt n = nombre de paiements

La formule nous fournit le PV en quelques étapes faciles. Voici le calcul de la rente représentée dans le diagramme de l'exemple 2:

= 1000 $ * [4. 33] = 4329 $. 48

Calcul de la valeur future d'une rente due

Lorsque vous recevez ou payez des flux de trésorerie pour une rente viagère, votre tableau de flux de trésorerie apparaîtrait comme suit:

Depuis chaque paiement de la série est faite une période plus tôt, nous devons actualiser la formule une période de retour. Une légère modification apportée à la formule de la VAN d'une rente ordinaire tient compte des paiements effectués au début de chaque période. Dans l'exemple 3, illustrons pourquoi cette modification est nécessaire lorsque chaque paiement de 1 000 $ est effectué au début de la période plutôt qu'à la fin (le taux d'intérêt est toujours de 5%):

Notez que lorsque les paiements sont effectués Au début de la période, chaque montant est détenu plus longtemps à la fin de la période. Par exemple, si le 1 000 $ a été investi le 1er janvier plutôt que le 31 décembre de chaque année, le dernier paiement avant l'évaluation de notre investissement au bout de cinq ans (le 31 décembre) aurait été effectué un an avant le 1er janvier plutôt que le même jour où il est évalué. La valeur future de la formule de rente serait alors:

où C = Flux de trésorerie par période i = taux d'intérêt n = nombre de paiements

Par conséquent,

= 1000 $ * 5. 53 * 1. 05 = 5801 $. 91

Calcul de la valeur actualisée d'une rente due

Pour la valeur actuelle d'une formule de rente, nous devons actualiser la période de calcul de la formule un puisque les paiements sont détenus pour une période plus courte. Lors du calcul de la valeur actuelle, nous supposons que le premier paiement a été effectué aujourd'hui.

Nous pourrions utiliser cette formule pour calculer la valeur actuelle de vos loyers futurs, tel que spécifié dans un contrat de location que vous signez avec votre propriétaire. Disons pour l'exemple 4 que vous effectuez votre premier paiement de loyer au début du mois et que vous évaluez la valeur actuelle de votre bail de cinq mois ce même jour. Votre calcul de la valeur actuelle fonctionnerait comme suit:

Bien sûr, nous pouvons utiliser un raccourci pour calculer la valeur actuelle d'une rente due:

où C = Flux de trésorerie par période i = taux d'intérêt > n = nombre de paiements Par conséquent,

= 1000 $ * 4. 33 * 1. 05

= 4545 $. 95 Rappelez-vous que la valeur actuelle d'une rente ordinaire a donné une valeur de 4 329 $. 48. La valeur actuelle d'une rente ordinaire est inférieure à celle d'une rente due parce que plus la rente est remise, sa valeur actuelle - chaque paiement ou flux de trésorerie dans une annuité ordinaire se produit une période plus loin dans le futur.

The Bottom Line

Vous pouvez maintenant voir comment les rentes affectent la façon dont vous calculez la valeur présente et future de n'importe quelle somme d'argent. N'oubliez pas que les fréquences de paiement, ou le nombre de paiements, et l'heure à laquelle ces paiements sont effectués (que ce soit au début ou à la fin de chaque période de paiement) sont des variables dont vous devez tenir compte dans vos calculs.