La distribution normale (courbe de cloche)

Les ensembles de données (comme la taille de 100 humains, les notes obtenues par 45 élèves dans une classe, etc.) tendent à avoir plusieurs valeurs au même point de données ou dans la même gamme. Cette distribution de points de données est appelée distribution de courbe normale ou en cloche. Par exemple, dans un groupe de 100 individus, 10 peuvent avoir moins de 5 pieds de hauteur, 65 peuvent se situer entre 5 et 5. 5 pieds et 25 peuvent être au-dessus de 5. 5 pieds. Cette distribution liée à la gamme peut être tracée comme suit:

De même, les points de données tracés dans les graphiques pour un ensemble de données donné peuvent ressembler à différents types de distributions. Trois des plus courantes sont les distributions alignées à gauche, alignées à droite et mélangées:

Notez la ligne de tendance rouge dans chacun de ces graphiques. Cela indique à peu près la tendance de la distribution des données. La première, "Distribution alignée GAUCHE", indique que la majorité des points de données se situe dans la plage inférieure. Dans le deuxième graphique "RIGHT Aligned Distribution", la majorité des points de données se situe dans la partie supérieure de la plage, tandis que le dernier, "Jumbled Distribution", représente un ensemble de données mélangées sans tendance claire.

Il y a beaucoup de cas où la distribution des points de données tend à être autour d'une valeur centrale, et ce graphique montre une distribution normale parfaite, équilibrée des deux côtés avec le plus grand nombre de points de données concentré dans le centre.

Voici un ensemble de données parfait, normalement distribué.

La valeur centrale ici est 50, qui a le plus grand nombre de points de données, et la distribution se rétrécit uniformément vers les extrêmes extrêmes de 0 et 100, qui ont le moins de points de données. La distribution normale est symétrique autour de la valeur centrale avec la moitié des valeurs de chaque côté.

- <- Beaucoup d'exemples réels correspondent à la distribution de la courbe en cloche:

Jetez une pièce juste plusieurs fois (disons 100 fois ou plus) et vous obtiendrez une distribution équilibrée normale des queues et des queues.

• Lancer une paire de dés équitables plusieurs fois (disons 100 fois ou plus) et le résultat sera une distribution équilibrée et normale centrée autour du chiffre 7 et se rétrécissant uniformément vers les valeurs extrême extrêmes de 2 et 12.
• la taille des individus dans un groupe de taille considérable et les marques obtenues par les personnes d'une même classe suivent les mêmes schémas de distribution.
• En finance, les changements dans les valeurs logarithmiques
• des taux de change, des indices de prix et des cours des actions sont supposés être normalement distribués.La relation aux finances et aux investissements

Tout investissement a deux aspects: le risque et le rendement. Les investisseurs recherchent le risque le plus faible possible pour le rendement le plus élevé possible. La distribution normale quantifie ces deux aspects par la moyenne des rendements et l'écart-type pour le risque.(Pour en savoir plus, voir:

Analyse de variance moyenne .) Moyenne

ou Valeur attendue La variation moyenne du prix d'une action donnée pourrait être de 1,5% par jour - ce qui signifie qu'en moyenne, il augmente de 1,5%. Cette valeur moyenne ou valeur attendue signifiant le retour peut être obtenue en calculant la moyenne sur un ensemble de données suffisamment grand contenant les variations de prix historiques historiques de ce stock. Plus la moyenne est élevée, mieux c'est.

Écart-type

L'écart-type indique la valeur par laquelle les valeurs s'écartent en moyenne de la moyenne. Plus l'écart-type est élevé, plus l'investissement est risqué, car il entraîne plus d'incertitude.

Voici une représentation graphique de la même:

Ainsi, la représentation graphique de la distribution normale par sa moyenne et son écart-type permet de représenter à la fois les rendements et les risques dans une fourchette clairement définie.

Il est utile de savoir (et d'être certain avec certitude) que si un ensemble de données suit le schéma de distribution normal, sa moyenne nous permettra de savoir à quoi s'attendre, et son écart type nous permettra de savoir qu'environ 68% les valeurs seront à 1 écart-type, 95% à 2 écarts-types et 99% des valeurs seront inférieures à 3 écarts-types. Un ensemble de données ayant une moyenne de 1,5 et un écart type de 1 est beaucoup plus risqué qu'un autre ensemble de données ayant une moyenne de 1,5 et un écart type de 0. 1.

Connaissant ces valeurs pour chaque actif sélectionné (actions, obligations et fonds) rendra l'investisseur conscient des rendements et des risques attendus.

Il est facile d'appliquer ce concept et de représenter le risque et le rendement d'un seul titre, d'une même obligation ou d'un seul fonds, mais peut-il être étendu à un portefeuille de multiples actifs?

Les particuliers commencent à trader en achetant une seule action ou obligation ou en investissant dans un fonds commun de placement. Peu à peu, ils ont tendance à augmenter leurs avoirs et à acheter plusieurs actions, fonds ou autres actifs, créant ainsi un portefeuille. Dans ce scénario incrémental, les individus construisent leurs portefeuilles sans stratégie ni prévoyance. Les gestionnaires de fonds professionnels, les négociants et les teneurs de marché suivent une méthode systématique pour construire leur portefeuille en utilisant une approche mathématique appelée théorie du portefeuille moderne (MPT) qui est fondée sur le concept de «distribution normale». "

Théorie du portefeuille moderne

La théorie du portefeuille moderne offre une approche mathématique systématique qui vise à maximiser le rendement attendu d'un portefeuille pour un montant donné de risque de portefeuille en sélectionnant les proportions de divers actifs. Alternativement, il offre également de minimiser le risque pour un niveau donné de rendement attendu.

Pour atteindre cet objectif, les actifs à inclure dans le portefeuille ne doivent pas être sélectionnés uniquement sur la base de leur propre mérite individuel, mais plutôt sur la manière dont chaque actif fonctionnera par rapport aux autres actifs du portefeuille.

En bref, MPT définit la meilleure façon de diversifier le portefeuille pour obtenir les meilleurs résultats possibles: un rendement maximal pour un niveau de risque acceptable ou un risque minimal pour un niveau de rendement souhaité.

Les Building Blocks

Le MPT était un concept si révolutionnaire que ses inventeurs ont remporté un Noble Prize. Cette théorie a fourni avec succès une formule mathématique pour guider la diversification dans l'investissement.

La diversification est une technique de gestion des risques qui élimine le risque «tous les œufs dans le même panier» en investissant dans des actions, des secteurs ou des classes d'actifs non corrélés. Idéalement, la performance positive d'un actif du portefeuille annulera la performance négative des autres actifs.

Pour prendre en compte le rendement moyen du portefeuille dont les actifs sont

n différents, la combinaison proportionnelle des rendements des actifs constitutifs est calculée. En raison de la nature des calculs statistiques et de la distribution normale, le rendement global du portefeuille (R p _{) est calculé comme suit:} la somme (Σ) où w

i _{est proportionnel au actif i dans le portefeuille, R} i _{est le rendement (moyen) de l'actif i.} Le risque du portefeuille (ou écart-type) est fonction des corrélations des actifs inclus, pour toutes les paires d'actifs (les unes par rapport aux autres dans la paire). En raison de la nature des calculs statistiques et de la distribution normale, le risque global du portefeuille (Std-dev)

p _{est calculé comme:} où cor-cof est le coefficient de corrélation entre les rendements des actifs i et j, et sqrt est la racine carrée.

Ceci prend en compte la performance relative de chaque actif par rapport à l'autre.

Bien qu'apparaissant mathématiquement complexe, le concept simple appliqué ici inclut non seulement les écarts-types des actifs individuels, mais aussi les écarts les uns par rapport aux autres.

Un bon exemple est disponible ici à l'Université de Washington.

Un exemple rapide

Imaginons que nous soyons un gestionnaire de portefeuille qui a reçu du capital et qui est chargé de déterminer combien de capital devrait être affecté à deux actifs disponibles (A et B), de sorte que le retour est maximum et le risque est le plus bas.

Nous avons également les valeurs suivantes disponibles:

R

a _{= 0. 175} R

b _{= 0. 055} (Std-dev) < a

= 0. 258 _(Std-dev) b

= 0. 115 _(Std-dev) ab

= -0. 004875 _(Cor-cof) ab

= -0. 164 _{En partant de l'allocation 50-50 égale à chaque ressource A & B, le R} p

se calcule à 0. 115 et (Std-dev) _p à 0. 1323 Une simple comparaison nous indique que pour ce portefeuille d'actifs, le rendement et le risque se situent à mi-chemin entre les valeurs individuelles de chaque actif. _{Cependant, notre objectif est d'améliorer le rendement du portefeuille au-delà de la simple moyenne des actifs individuels et de réduire le risque de sorte qu'il soit inférieur à celui des actifs individuels.} Prenons maintenant une position d'allocation de capital de 1,5 dans l'actif A, et un -0. 5 L'allocation de capital négative signifie que les actions et le capital reçus servent à acheter l'excédent d'un autre actif avec une allocation de capital positive, c'est-à-dire que nous sommes en train de manquer l'action B pour 0.5 fois du capital et en utilisant cet argent pour acheter l'action A pour le montant 1. 5 fois du capital.)

En utilisant ces valeurs, nous obtenons R

p

comme 0. 1604 et (Std-dev) < p _{comme 0. 4005.} De même, nous pouvons continuer à utiliser des pondérations d'allocation différentes pour les actifs A et B, et arriver à différents ensembles de Rp et (Std-dev) p. Selon le rendement souhaité (Rp), on peut choisir le meilleur niveau de risque acceptable (std-dev) p. Alternativement, pour un niveau de risque souhaité, on peut sélectionner le meilleur rendement du portefeuille disponible. De toute façon, grâce à ce modèle mathématique de la théorie du portefeuille, il est possible d'atteindre l'objectif de créer un portefeuille efficace avec la combinaison de risque et de rendement souhaitée. _{L'utilisation d'outils automatisés permet de détecter facilement et facilement les meilleures proportions possibles, sans nécessiter de longs calculs manuels.} La frontière efficace, le modèle CAPM (Capital Asset Pricing Model) et la tarification des actifs utilisant MPT évoluent également à partir du même modèle de distribution normal et constituent une extension de MPT.

Les défis du MPT (et de la distribution normale sous-jacente):

Malheureusement, aucun modèle mathématique n'est parfait et chacun a des insuffisances et des limitations.

L'hypothèse de base selon laquelle les rendements boursiers suivent la distribution normale elle-même est remise en question à maintes reprises. Il y a suffisamment de preuves empiriques des cas où les valeurs n'adhèrent pas à la distribution normale supposée. Baser des modèles complexes sur de telles hypothèses peut conduire à des résultats avec de grandes déviations.

Pour aller plus loin dans MPT, les calculs et les hypothèses concernant le coefficient de corrélation et la covariance restants (basés sur des données historiques) ne sont pas forcément valables pour les valeurs attendues futures. Par exemple, les marchés obligataires et boursiers ont montré une corrélation parfaite sur le marché britannique entre 2001 et 2004, où les rendements des deux actifs ont baissé simultanément. En réalité, l'inverse a été observé sur de longues périodes antérieures à 2001.

Le comportement des investisseurs n'est pas pris en compte dans ce modèle mathématique. Les taxes et les coûts de transaction sont négligés, même si la répartition du capital fractionnaire et la possibilité de court-circuiter les actifs sont supposées.

En réalité, aucune de ces hypothèses ne peut être vraie, ce qui signifie que les rendements financiers réalisés peuvent différer considérablement des bénéfices attendus.

The Bottom Line:

Les modèles mathématiques fournissent un bon mécanisme pour quantifier certaines variables avec des nombres uniques et traçables. Mais en raison des limites des hypothèses, les modèles peuvent échouer. La distribution normale, qui constitue la base de la théorie du portefeuille, ne s'applique pas nécessairement aux actions et aux autres modèles de prix des actifs financiers. La théorie du portefeuille en soi a beaucoup d'hypothèses qui devraient être examinées de manière critique, avant de prendre des décisions financières importantes.