La volatilité est la mesure de risque la plus courante, mais elle existe en plusieurs parfums. Dans un article précédent, nous avons montré comment calculer la volatilité historique simple. (Pour lire cet article, voir Utilisation de la volatilité pour évaluer les risques futurs .) Dans cet article, nous allons améliorer la volatilité simple et discuter de la moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA).

Vs historique Volatilité implicite

D'abord, mettons cette métrique en perspective. Il y a deux approches générales: la volatilité historique et implicite (ou implicite). L'approche historique suppose que le passé est prologue; nous mesurons l'histoire dans l'espoir qu'elle soit prédictive. D'autre part, la volatilité implicite ignore l'histoire; il résout la volatilité implicite des prix du marché. Il espère que le marché connaîtra le mieux et que le prix du marché contient, même implicitement, une estimation consensuelle de la volatilité.

Si nous nous concentrons sur les trois approches historiques (à gauche ci-dessus), elles ont deux points communs:

1. Calculer la série de rendements périodiques
2. Appliquer un schéma de pondération >

D'abord, nous calculons le rendement périodique. C'est typiquement une série de rendements quotidiens où chaque rendement est exprimé en termes continuellement composés. Pour chaque jour, nous prenons le journal naturel du ratio des cours des actions (c'est-à-dire, le prix aujourd'hui divisé par le prix hier, et ainsi de suite).

Cela produit une série de retours quotidiens, de u

i _{à u} i-m _{, en fonction du nombre de jours (m = jours) que nous mesurons.} Cela nous amène à la deuxième étape: c'est là que les trois approches diffèrent. Dans l'article précédent, nous avons montré que sous quelques simplifications acceptables, la variance simple est la moyenne des rendements au carré:

Remarquez que cela somme chacun des rendements périodiques, puis divise ce total par le nombre de jours ou d'observations (m). Donc, c'est juste une moyenne des rendements périodiques au carré. Autrement dit, chaque retour au carré reçoit un poids égal. Donc, si alpha (a) est un facteur de pondération (en particulier, a = 1 / m), alors une variance simple ressemble à ceci:

L'EWMA s'améliore sur la variance simple

La faiblesse de cette approche est que tous les rendements gagner le même poids. Le rendement d'hier (très récent) n'a pas plus d'influence sur la variance que le rendement du mois dernier. Ce problème est résolu en utilisant la moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA), dans laquelle les rendements plus récents ont un poids plus important sur la variance.
La moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA) introduit lambda, ce qu'on appelle le paramètre de lissage. Lambda doit être inférieur à un. Sous cette condition, au lieu de poids égaux, chaque rendement carré est pondéré par un multiplicateur comme suit:

Par exemple, RiskMetrics

TM ^{, _{une société de gestion des risques financiers, tend à utiliser un lambda de 094 ou 94%. Dans ce cas, le premier retour périodique au carré (le plus récent) est pondéré par (1-0,94) (.94)}} 0 ^{= 6%. Le retour au carré suivant est simplement un lambda-multiple du poids antérieur; dans ce cas 6% multiplié par 94% = 5. 64%. Et le poids du troisième jour précédent est égal à (1-0,94) (0,94)} 2 ^{= 5,30%.} C'est la signification de "exponentielle" dans EWMA: chaque poids est un multiplicateur constant (c'est-à-dire lambda, qui doit être inférieur à un) du poids du jour précédent. Cela garantit une variance pondérée ou biaisée vers des données plus récentes. (Pour en savoir plus, consultez la feuille de calcul Excel pour la volatilité de Google.) La différence entre simplement la volatilité et EWMA pour Google est indiquée ci-dessous.

La volatilité simple pèse effectivement chaque rendement périodique de 0. 196% comme indiqué dans la colonne O (nous avions deux années de données boursières quotidiennes, soit 509 retours quotidiens et 1/509 = 0. 196%). Mais notez que la colonne P attribue un poids de 6%, puis 5. 64%, puis 5. 3% et ainsi de suite. C'est la seule différence entre la variance simple et EWMA.

Rappelez-vous: après avoir additionné toute la série (dans la colonne Q), nous avons la variance, qui est le carré de l'écart-type. Si nous voulons de la volatilité, nous devons nous rappeler de prendre la racine carrée de cette variance.

Quelle est la différence de volatilité quotidienne entre la variance et EWMA dans le cas de Google? C'est significatif: La variance simple nous a donné une volatilité quotidienne de 2. 4% mais l'EWMA a donné une volatilité quotidienne de seulement 1. 4% (voir la feuille de calcul pour plus de détails). Apparemment, la volatilité de Google s'est stabilisée plus récemment; par conséquent, une variance simple peut être artificiellement élevée.

La variance d'aujourd'hui est une fonction de la variance du jour précédent

Vous remarquerez que nous avions besoin de calculer une longue série de poids décroissants exponentiellement. Nous ne ferons pas le calcul ici, mais l'une des meilleures caractéristiques de l'EWMA est que la série entière se réduit commodément à une formule récursive:

récursif signifie que les références de variance d'aujourd'hui (ie est une fonction de la variance du jour précédent) . Vous pouvez également trouver cette formule dans la feuille de calcul, et elle produit exactement le même résultat que le calcul de la main-d'œuvre! Il dit: la variance d'aujourd'hui (sous EWMA) est égale à la variance d'hier (pondérée par lambda) plus le rendement au carré d'hier (pondéré par un moins lambda). Remarquez comment nous ne faisons qu'ajouter deux termes: la variance pondérée d'hier et le rendement pondéré au carré d'hier.

Même ainsi, lambda est notre paramètre de lissage. Un lambda plus élevé (par exemple, comme 94% de RiskMetric) indique une décroissance plus lente dans la série - en termes relatifs, nous allons avoir plus de points de données dans la série et ils vont "tomber" plus lentement. D'un autre côté, si nous réduisons le lambda, nous indiquons une décroissance plus élevée: les poids tombent plus rapidement et, en conséquence directe de la décroissance rapide, moins de points de données sont utilisés. (Dans la feuille de calcul, lambda est une entrée, donc vous pouvez expérimenter avec sa sensibilité).

Résumé

La volatilité est l'écart type instantané d'une action et la mesure de risque la plus courante.C'est aussi la racine carrée de la variance. Nous pouvons mesurer la variance historiquement ou implicitement (volatilité implicite). Lors de la mesure historique, la méthode la plus simple est la variance simple. Mais la faiblesse avec la variance simple est que tous les retours ont le même poids. Nous sommes donc confrontés à un compromis classique: nous voulons toujours plus de données, mais plus nous avons de données, plus notre calcul est dilué par des données distantes (moins pertinentes). La moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA) améliore la variance simple en affectant des pondérations aux rendements périodiques. En faisant cela, nous pouvons tous les deux utiliser une grande taille d'échantillon mais aussi donner plus de poids aux retours plus récents.