En janvier 2015, l'IBM IBM International Business Machines Corp151. 58-1. 15% Créé avec Highstock 4. 2. 6 Le cours se négocie à 155 $ et vous vous attendez à ce qu'il augmente au cours de la prochaine année. Vous avez l'intention d'acheter une option d'achat sur actions IBM avec un prix d'exercice de 155 $, espérant profiter de rendements élevés, basés sur un coût d'option faible (option premium), comparé à l'achat d'actions avec un prix d'achat élevé. Quelle devrait être la juste valeur de cette option d'achat sur IBM? (Pour une lecture connexe, reportez-vous à Trois façons de tirer profit des options d'appel )
Aujourd'hui, deux méthodes prêtes à l'emploi différentes sont disponibles pour évaluer les options - y compris le modèle de Black-Scholes et le modèle d'arbre binomial - qui peuvent fournir des réponses rapides. Mais quels sont les facteurs sous-jacents et les concepts moteurs pour arriver à de tels modèles d'évaluation? Est-ce que quelque chose de similaire peut être préparé, basé sur le concept de ces modèles?
Nous abordons ici les éléments constitutifs, les concepts sous-jacents et les facteurs qui peuvent être utilisés comme cadre pour construire un modèle d'évaluation d'un actif tel que les options, en comparant côte à côte les origines du marché noir. Modèle Scholes (BS) (pour une lecture supplémentaire, voir Tarification des options: Modèle Black-Scholes ).
Cet article n'a pas l'intention de remettre en question les hypothèses ou d'autres facteurs du modèle BS (qui est un sujet complètement différent); il vise plutôt à expliquer le concept sous-jacent du modèle Black-Scholes, ainsi que l'idée du développement d'un modèle d'évaluation.
Le monde avant Black-Scholes
Avant Black-Scholes, le modèle CAPM (Capital Asset Pricing Model) basé sur l'équilibre était largement suivi. Les rendements et les risques étaient équilibrés les uns avec les autres, selon la préférence de l'investisseur, i. e. On s'attendait à ce qu'un investisseur à haut risque soit compensé par (le potentiel de) des rendements plus élevés dans une proportion similaire.
Le modèle BS trouve ses racines dans CAPM. Selon Fisher Black, « j'ai appliqué le modèle d'établissement des prix des immobilisations à chaque moment de la vie d'un mandat, pour chaque prix de l'action et la valeur du warrant ».
Malheureusement, le MEDAF n'a pas été en mesure de satisfaire à l'exigence de prix (option) du warrant.
Black-Scholes reste le premier modèle, basé sur le concept d'arbitrage, à opérer un changement de paradigme par rapport aux modèles basés sur le risque (comme le CAPM). Ce nouveau développement de modèle BS a remplacé le concept de rendement des actions CAPM par la reconnaissance du fait qu'une position parfaitement couverte obtiendra un taux sans risque. Cela a éliminé les variations de risque et de rendement, et établi le concept d'arbitrage selon lequel les évaluations sont effectuées sur des hypothèses de concept neutre au risque - une position couverte (sans risque) devrait conduire à un taux de rendement sans risque.
Le modèle de développement des prix (Black-Scholes)
Commençons par établir le problème, le quantifier et développer un cadre pour sa solution. Nous continuons avec notre exemple sur la valorisation de l'option d'achat ATM sur IBM avec un prix d'exercice de 155 $ avec un an d'expiration.
Sur la base de la définition de base d'une option d'achat, à moins que le cours de l'action n'atteigne le niveau du prix d'exercice, le gain reste nul. Après ce niveau, le gain augmente linéairement (c'est-à-dire qu'une augmentation d'un dollar du sous-jacent offrira un gain de un dollar par rapport à l'option d'achat).
En supposant que l'acheteur et le vendeur s'accordent sur une évaluation équitable (y compris le prix zéro), le juste prix théorique pour cette option d'achat (pour la lecture associée, Comprendre les prix d'option ) sera: > Prix de l'option d'achat = 0 $, si sous-jacent
Dans le premier cas (graphique rouge), théoriquement, le vendeur reçoit le prix zéro et il n'y a aucun potentiel de remboursement pour l'acheteur (juste pour les deux). Dans ce dernier cas (graphique bleu), le différentiel entre le sous-jacent et la grève doit être payé par le vendeur à l'acheteur. Le risque du vendeur s'étend sur une année entière. Par exemple, le cours de l'action sous-jacente peut se déplacer très haut (disons à 200 $ dans quatre mois) et le vendeur est tenu de payer à l'acheteur le différentiel de 45 $.
Ainsi, cela se résume à:
Le prix du sous-jacent va-t-il croiser le prix d'exercice?
- Si c'est le cas, quelle peut être la valeur du prix sous-jacent (car cela déterminera le paiement à l'acheteur)?
- Cela indique le grand risque pris par le vendeur, ce qui amène à la question: pourquoi quelqu'un vendrait-il un tel appel s'il ne recevait rien pour le risque qu'il prend?
Notre objectif est d'arriver à un prix unique que le vendeur doit facturer à l'acheteur, ce qui peut compenser le risque global qu'il prend sur une année - tant dans la zone de paiement zéro (rouge) que dans le paiement linéaire région (bleu). Le prix devrait être juste et acceptable pour l'acheteur et le vendeur. Si ce n'est pas le cas, celui qui est désavantagé en termes de paiement ou de réception de prix injustifiés ne participera pas au marché, ce qui irait à l'encontre du but de l'activité commerciale. Le modèle de Black-Scholes vise à établir ce juste prix en tenant compte de la variation constante du prix de l'action, de la valeur temporelle de l'argent, du prix d'exercice de l'option et du délai d'expiration de l'option.Semblable au modèle BS, voyons comment nous pouvons approcher pour évaluer ceci pour notre exemple en utilisant nos propres méthodes.
Comment évaluer la valeur intrinsèque dans la région bleue?
Il existe deux méthodes pour prédire le mouvement de prix anticipé dans le futur au cours d'une période donnée:
On peut analyser des mouvements de prix similaires de même durée au cours des dernières années. Le cours de clôture historique d'IBM indique qu'au cours de la dernière année (du 2 janvier 2014 au 31 décembre 2014), le prix a chuté à 160 $. 44 à partir de 185 $. 53, soit une baisse de 13,5%. Pouvons-nous conclure un -13. 5% de changement de prix pour IBM?
- Une vérification plus détaillée indique qu'elle a atteint un sommet annuel de 199 $. 21 (le 10 avril 2014) et un minimum annuel de 150 $. 5 (le 16 décembre 2014). Sur la base de ces jours le 2 janvier 2014 et le prix de clôture de 185 $. 53, le pourcentage de variation varie de +7. 37% à -18. 88%. Maintenant, la gamme de variation semble beaucoup plus large par rapport à la baisse précédemment calculée de 13. 5%.
- Des analyses et des observations similaires sur les données historiques peuvent être poursuivies. Pour poursuivre le développement de notre modèle de tarification, supposons cette méthodologie simple pour évaluer les futures variations de prix.
Supposons qu'IBM augmente de 10% chaque année (sur la base des données historiques des 20 dernières années). Les statistiques de base indiquent que la probabilité que la variation du cours des actions IBM oscille autour de + 10% sera beaucoup plus élevée que la probabilité que le prix IBM augmente de 20% ou baisse de 30%, en supposant que les tendances historiques se répètent. Si l'on rassemble des points de données historiques similaires avec des valeurs de probabilité, on peut calculer un rendement global attendu du cours de bourse d'IBM sur une période d'un an en tant que moyenne pondérée des probabilités et des rendements associés. Par exemple, supposons que les données de prix historiques d'IBM indiquent les mouvements suivants:
(- 10%) 25% des fois,
- + 10% 35% des fois,
- + 15% 20% fois,
- + 20% dix pourcent de fois,
- +25% cinq pourcent de fois, et
- (- 15%) cinq pourcent de fois.
- Par conséquent, la moyenne pondérée (ou la valeur attendue) est de:
(- 10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 15% * 5%) / 100% =
6. 5% i. e. en moyenne, le cours de l'action IBM devrait revenir à +6. 5% en un an pour chaque dollar. Si quelqu'un achète l'action IBM avec un horizon d'un an et un prix d'achat de 155 $, on peut s'attendre à un rendement net de 155 * 6. 5% = 10 $. 075.
Cependant, ceci est pour le rendement des actions. Nous devons rechercher des rendements attendus similaires pour l'option d'achat.
Sur la base d'un remboursement à zéro du prix d'appel inférieur au seuil (155 $ - appel ATM existant), tous les mouvements négatifs généreront des gains zéro, tandis que tous les mouvements positifs supérieurs au prix d'exercice généreront des gains équivalents. Le rendement attendu de l'option d'achat sera donc:
(
-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5 % - 0 % * 5%) / 100% = 9. 75% i. e. pour chaque tranche de 100 $ investie dans l'achat de cette option, on peut s'attendre à 9 $. 75 (sur la base des hypothèses ci-dessus).
Cependant, cela reste limité à la juste évaluation du montant intrinsèque de l'option et ne reflète pas correctement le risque supporté par le vendeur d'options pour les fortes fluctuations qui peuvent survenir entre-temps (dans le cas de l'intrayear mentionné ci-dessus). prix élevés et bas).En plus de la valeur intrinsèque, quel prix peut être convenu entre l'acheteur et le vendeur, de sorte que le vendeur est équitablement indemnisé pour le risque qu'il prend sur la période d'un an?
Ces oscillations peuvent varier considérablement et le vendeur peut avoir sa propre interprétation de combien il veut être indemnisé pour cela. Le modèle de Black-Scholes suppose des options de type européen, i. e. pas d'exercice avant la date d'expiration. Ainsi, il reste inchangé par les fluctuations de prix intermédiaires et fonde sa valorisation sur des jours de négoce de bout en bout.
En temps réel, cette volatilité joue un rôle important dans la détermination des prix des options. La fonction de paiement bleu que nous voyons généralement est en fait la récompense à la date d'expiration. De façon réaliste, le prix de l'option (graphique rose) est toujours plus élevé que le gain (graphique bleu), indiquant le prix pris par le vendeur pour compenser ses capacités de prise de risque. C'est pourquoi le prix de l'option est également connu comme l'option «prime» - indiquant essentiellement la prime de risque.
Cela peut être inclus dans notre modèle d'évaluation, en fonction de la volatilité attendue du cours de l'action et de la valeur attendue qui en résulterait.
Le modèle de Black-Scholes le fait de manière efficace (bien sûr, dans ses propres hypothèses) comme suit:
Le modèle BS suppose une distribution log-normale des mouvements des cours, justifiant l'utilisation de N (d1) et N (d2 ).
Dans la première partie, S indique le prix actuel du stock.
N (d1) indique la probabilité du mouvement actuel du prix du stock.
Si cette option est dans le cours et permet à l'acheteur d'exercer cette option, il recevra une action de l'action IBM sous-jacente. Si le trader l'exerce aujourd'hui, le S * N (d1) représente la valeur actuelle attendue de l'option.
Dans la deuxième partie, X indique le prix d'exercice.
N (d2) représente la probabilité que le prix de l'action soit supérieur au prix d'exercice.
Donc X * N (d2) représente la valeur attendue du prix de l'action restant
au-dessus de le prix d'exercice. Comme le modèle de Black-Scholes suppose des options de style européen dans lesquelles l'exercice n'est possible qu'à la fin, la valeur attendue représentée ci-dessus par X * N (d2) doit être actualisée pour la valeur temps de l'argent. Par conséquent, la dernière partie est multipliée avec un terme exponentiel porté au taux d'intérêt sur la période.
La différence nette entre les deux termes indique la valeur actuelle de l'option (où le second terme est actualisé)
Dans notre cadre, de tels mouvements de prix peuvent être plus précisément inclus de plusieurs manières:
Affinement des calculs du rendement attendu en élargissant la fourchette à des intervalles plus fins pour inclure les mouvements de prix intrajournaliers / intrajournaliers
- Inclusion des données actuelles du marché, reflétant l'activité actuelle (similaire à la volatilité implicite)
- Rendements attendus à l'échéance date, qui peut être actualisée à ce jour pour des évaluations réalistes et encore plus réduite par rapport à la valeur actuelle
- Ainsi, nous voyons qu'il n'y a pas de limite aux hypothèses, méthodologies et personnalisations à sélectionner pour l'analyse quantitative.Selon l'actif à échanger ou l'investissement à prendre en compte, un modèle auto-développé peut être mis au point. Il est important de noter que la volatilité des mouvements de prix des différentes classes d'actifs varie beaucoup - les actions ont une asymétrie de volatilité, le forex a une tendance à la volatilité - et les utilisateurs devraient intégrer les modèles de volatilité applicables dans leurs modèles. Les hypothèses et les inconvénients font partie intégrante de tout modèle et une application bien documentée des modèles dans des scénarios de trading réels peut donner de meilleurs résultats. (pour une lecture connexe, se reporter à
Un aperçu simple de l'analyse quantitative ) Conclusion
Les actifs complexes entrant sur le marché ou même les actifs simples entrent dans des formes complexes de négociation, de modélisation quantitative et l'analyse devient obligatoire pour l'évaluation. Malheureusement, aucun modèle mathématique ne comporte un ensemble d'inconvénients et d'hypothèses. La meilleure approche consiste à garder les hypothèses au minimum et à être conscient des inconvénients implicites, ce qui peut aider à tracer les lignes sur l'utilisation et l'applicabilité des modèles.
Voici comment construire la richesse comme un multimillionnaire
Si vous vous demandez comment devenir multimillionnaire, la réponse est moins compliquée que vous ne le pensez.
Une introduction à l'évaluation d'expert en évaluation d'entreprise
Est un domaine en pleine expansion. Découvrez comment vous pouvez profiter d'une désignation CBV.
En quoi l'évaluation des obligations convertibles est-elle différente de l'évaluation traditionnelle des obligations?
Parle de l'évaluation des obligations, en particulier des différences entre la valorisation d'une obligation traditionnelle et la valorisation d'une obligation convertible.