Même si vous ne connaissez pas la distribution binomiale par nom, et que vous n'avez jamais suivi de cours avancés de statistiques universitaires, vous le comprenez de façon innée. Vraiment, vous faites. C'est une façon d'évaluer la probabilité qu'un événement discret se produise ou ne se produise pas. Et il y a beaucoup d'applications en finance. Voici comment cela fonctionne:

Vous commencez par tenter quelque chose - des lancers de pièces, des lancers francs, des tours de roues de roulette, peu importe. La seule qualification est que le quelque chose en question doit avoir exactement deux résultats possibles. Succès ou échec, c'est tout. (Oui, une roue de roulette a 38 résultats possibles, mais du point de vue d'un parieur, il n'y en a que deux: vous allez soit gagner, soit perdre.)

Nous utiliserons des lancers francs pour notre exemple, car ils sont un peu plus intéressants que les 50% de chances d'atterrissage d'une pièce. Imaginons que vous soyez Dirk Nowitzki des Dallas Mavericks, qui a frappé 89. 9% de ses lancers francs l'an dernier. Nous l'appellerons 90% pour nos objectifs. Si vous deviez le mettre à la ligne en ce moment, quelles sont les chances qu'il atteigne (au moins) 9 sur 10?

Non, ils ne sont pas 100%. Ils ne sont pas non plus 90%.

Ils sont 74%, croyez-le ou non. Voici la formule. Nous sommes tous des adultes ici, il n'y a pas besoin d'avoir peur des exposants et des lettres grecques:

n est le nombre de tentatives. Dans ce cas, 10.

i est le nombre de succès, soit 9 ou 10. Nous allons calculer la probabilité pour chacun, puis les ajouter.

p est la probabilité de succès de chaque événement individuel, qui est. 9.

La chance d'atteindre la cible, i. e. la distribution binomiale des réussites et des échecs, est la suivante:

Notation mathématique corrective, si vous avez besoin des termes de cette expression décomposés plus loin:

C'est le "binomial" dans la distribution binomiale: i. e. , deux mandats. Nous ne sommes pas seulement intéressés par le nombre de réussites, ni par le nombre de tentatives, mais par les deux. Chacun est inutile pour nous sans l'autre.

Notation mathématique plus corrective:! est factoriel: multipliant un entier positif par chaque entier positif plus petit. Par exemple,

Branchez les chiffres, sachant que nous devons résoudre à la fois 9 lancers francs sur 10 et 10 sur 10, et nous obtenons

= 0. 387420489 (qui est la chance d'en atteindre neuf) + 0. 3486784401 (la chance de toucher tous les dix)

= 0. 736098929

Ceci est la distribution cumulative , par opposition à la simple distribution probabilité . La distribution cumulative est la somme des distributions de probabilités multiples (dans notre cas, ce serait deux.) La distribution cumulative calcule la chance de toucher une plage de valeurs - ici, 9 ou 10 lancers francs - au lieu d'une seule. valeur. Quand nous demandons quelles sont les chances de succès de Nowitzki 9 sur 10, il faut comprendre que nous voulons dire "9 ou mieux sur 10", pas "exactement 9 sur 10."

Si vous voulez comprendre la fonction de distribution binomiale d'une série particulière d'événements, vous n'avez pas besoin de la calculer vous-même. Les gens utiles à Stat Trek ont ​​un calculateur binomial qui fera le travail pour vous. Tout ce que vous avez à faire est de fournir les valeurs n , i et p .

Alors qu'est-ce que cela a à voir avec la finance? Plus que vous ne le pensez. Disons que vous êtes une banque, un prêteur, qui sait à trois décimales près la probabilité de défaillance d'un emprunteur particulier. Quelles sont les chances de tant d'emprunteurs défaillants qu'ils rendraient la banque insolvable? Une fois que vous avez utilisé la fonction de distribution binomiale cumulative pour calculer ce nombre, vous avez une meilleure idée de la façon de fixer le prix de l'assurance et, en fin de compte, combien d'argent emprunter et combien garder en réserve.

Vous êtes-vous déjà demandé comment les prix initiaux des options sont déterminés? Même chose, en quelque sorte. Si une action sous-jacente volatile a une chance p d'atteindre un prix particulier, vous pouvez voir comment l'action évolue sur une série de périodes n pour déterminer le prix que les options devraient vendre à. (Préparez-vous à des techniques de trading plus avancées? Consultez le document d'Investopedia sur les stratégies d'utilisation d'indicateurs techniques.)

L'application de la fonction de distribution binomiale à la finance donne des résultats surprenants, sinon complètement contre-intuitifs; un peu comme la chance d'un tireur à 90% de lancers francs qui touche 90% de ses lancers francs, soit quelque chose de moins de 90%. Supposons que vous avez une sécurité qui a autant de chance d'un gain de 20% que d'une perte de 20%. Si le prix du titre venait à chuter de 20%, quelles sont les chances qu'il rebondisse à son niveau initial? Rappelez-vous qu'un gain correspondant simple de 20% ne le coupera pas: un titre qui chute de 20% puis gagne 20% sera toujours en baisse de 4%. Continuez à alterner les chutes et les gains de 20%, et éventuellement le stock sera sans valeur.

The Bottom Line

Les analystes ayant une bonne connaissance de la distribution binomiale disposent d'un ensemble d'outils de qualité supplémentaires pour déterminer les prix, évaluer les risques et éviter les résultats désagréables résultant d'une préparation insuffisante. Quand vous comprenez la distribution binomiale et ses résultats souvent surprenants, vous serez en avance sur les masses.