Carl Friedrich Gauss était un brillant mathématicien qui vécut au début des années 1800 et donna au monde des équations quadratiques, des méthodes d'analyse des moindres carrés et une distribution normale. Bien que Pierre Simon Laplace ait été considéré comme le fondateur originel de la distribution normale en 1809, on attribue souvent le mérite de cette découverte à Gauss, car il a écrit sur le concept dès le début et a fait l'objet de nombreuses études de mathématiciens pendant 200 ans. En fait, cette distribution est souvent appelée «distribution gaussienne». L'étude entière des statistiques provenait de Gauss, et nous a permis de comprendre les marchés, les prix et les probabilités, entre autres applications. La terminologie moderne définit la distribution normale comme la courbe en cloche avec des paramètres "normaux". Et puisque la seule façon de comprendre Gauss et la courbe en cloche est de comprendre les statistiques, cet article va construire une courbe en cloche et l'appliquer à un exemple commercial.

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Moyenne, Médiane et Mode
Trois méthodes existent pour déterminer les distributions: moyenne, médiane et mode. Les moyennes sont factorisées en ajoutant tous les scores et en divisant par le nombre de scores pour obtenir la moyenne. La médiane est factorisée en ajoutant les deux nombres moyens d'un échantillon et en les divisant par deux, ou en prenant simplement la valeur moyenne d'une séquence ordinale. Le mode est le plus fréquent des nombres dans une distribution de valeurs. La meilleure méthode pour obtenir un aperçu d'une séquence de nombres consiste à utiliser des moyennes car elle fait la moyenne de tous les nombres et est donc la plus réfléchie de la distribution entière.

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C'était l'approche gaussienne, et sa méthode préférée. Ce que nous mesurons ici, ce sont les paramètres de la tendance centrale, ou pour savoir où vont les résultats de notre échantillon. Pour comprendre cela, nous devons tracer nos scores en commençant par 0 au milieu et tracer +1, +2 et +3 écarts-types à droite et -1, -2 et -3 à gauche, en référence à la moyenne. " Zéro "fait référence à la moyenne de distribution. (De nombreux hedge funds mettent en œuvre des stratégies mathématiques Pour en savoir plus, lisez Analyse quantitative des hedge funds et Modèles multivariés: l'analyse de Monte Carlo .)

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Écart-type et variance
Si les valeurs suivent un schéma normal, nous constaterons que 68% de tous les scores tomberont entre -1 et +1 écarts-types, 95% tomberont dans les deux écarts-types et 99% correspondent à trois écarts-types de la moyenne. Mais cela ne suffit pas pour nous parler de la courbe. Nous devons déterminer la variance réelle et d'autres facteurs quantitatifs et qualitatifs. La variance répond à la question de la répartition de notre distribution. Il prend en compte les possibilités de savoir pourquoi les valeurs aberrantes peuvent exister dans notre échantillon et nous aide à comprendre ces valeurs aberrantes et comment elles peuvent être identifiées.Par exemple, si une valeur tombe six écarts-types au-dessus ou au-dessous de la moyenne, elle peut être classée comme aberrante aux fins de l'analyse.

Les écarts-types sont une métrique importante qui sont simplement les racines carrées de la variance. Les termes modernes appellent cette dispersion. Dans une distribution gaussienne, si nous connaissons la moyenne et l'écart-type, nous pouvons connaître les pourcentages des scores qui se situent à plus ou moins 1, 2 ou 3 écarts-types par rapport à la moyenne. C'est ce qu'on appelle l'intervalle de confiance. C'est ainsi que nous savons que 68% des distributions se situent à plus ou moins 1 écart-type, 95% à plus ou moins deux écarts-types et 99% à plus ou moins 3 écarts-types. Gauss a appelé ces "fonctions de probabilité". (Pour plus d'informations sur l'analyse statistique, consultez Understanding Volatility Measures .)

Skew and Kurtosis
Jusqu'à présent, cet article a été sur l'explication de la moyenne et les différents calculs pour nous aider à expliquer plus étroitement. Une fois que nous avons tracé nos scores de distribution, nous avons essentiellement dessiné notre courbe de cloche au-dessus de tous les scores, en supposant qu'ils possèdent des caractéristiques de normalité. Donc, cela ne suffit pas car nous avons des queues sur notre courbe qui ont besoin d'explications pour mieux comprendre toute la courbe. Pour ce faire, nous allons aux troisième et quatrième moments de statistiques de la distribution appelée biais et kurtosis.

L'asymétrie des queues mesure l'asymétrie de la distribution. Une asymétrie positive présente une variance par rapport à la moyenne positive et asymétrique droite, tandis qu'une asymétrie négative présente une variance par rapport à la moyenne asymétrique gauche - essentiellement, la distribution a tendance à être asymétrique d'un côté particulier de la moyenne. Un biais symétrique a 0 variance qui forme une distribution normale parfaite. Lorsque la courbe en cloche est dessinée en premier avec une longue queue, c'est positif. La longue queue au début avant la grosseur de la courbe en cloche est considérée comme négativement biaisée. Si une distribution est symétrique, la somme des écarts en cubes au-dessus de la moyenne équilibrera les écarts en cubes sous la moyenne. Une distribution asymétrique droite aura un biais supérieur à zéro, alors qu'une distribution gauche asymétrique aura un biais inférieur à zéro. (La courbe peut être un puissant outil de négociation: pour plus de détails, reportez-vous à Risque boursier: Remonter les queues .)

Kurtosis explique les caractéristiques de concentration de pointe et de valeur de la distribution. Un kurtosis excessif négatif, appelé platykurtosis est caractérisé comme une distribution assez plate où il y a une plus petite concentration de valeurs autour de la moyenne et les queues sont significativement plus grosses qu'une distribution mésokurtique (normale). D'autre part, une distribution leptokurtique contient des queues minces, car la plupart des données sont concentrées à la moyenne.

L'asymétrie est plus importante pour évaluer les positions commerciales que l'aplatissement. L'analyse des titres à revenu fixe nécessite une analyse statistique minutieuse pour déterminer la volatilité d'un portefeuille lorsque les taux d'intérêt varient. Les modèles permettant de prédire la direction des mouvements doivent tenir compte de l'asymétrie et de l'aplatissement pour prévoir la performance d'un portefeuille obligataire.Ces concepts statistiques sont en outre appliqués pour déterminer les mouvements de prix de nombreux autres instruments financiers, tels que les actions, les options et les paires de devises. Les biais sont utilisés pour mesurer les prix des options en mesurant les volatilités implicites.

L'appliquer à la négociation
L'écart-type mesure la volatilité et demande quel type de rendement peut être attendu. Des écarts-types plus petits peuvent signifier moins de risque pour un titre, tandis qu'une volatilité plus élevée peut entraîner un niveau d'incertitude plus élevé. Les traders peuvent mesurer les prix de clôture à partir de la moyenne car ils sont dispersés par rapport à la moyenne. La dispersion mesurerait alors la différence entre la valeur réelle et la valeur moyenne. Une plus grande différence entre les deux signifie un écart-type et une volatilité plus élevés. Les prix qui dévient loin de la moyenne reviennent souvent à la moyenne, de sorte que les commerçants peuvent profiter de ces situations. Les prix qui se négocient dans une petite gamme sont prêts pour une évasion.

L'indicateur technique souvent utilisé pour les opérations d'écart-type est la Bollinger Band®, car il s'agit d'une mesure de la volatilité établie à deux écarts-types pour les bandes supérieures et inférieures avec une moyenne mobile de 21 jours. La distribution de Gauss n'était que le début de la compréhension des probabilités du marché. Il a ensuite conduit à des séries temporelles et à des modèles Garch, ainsi qu'à d'autres applications de biais telles que le Volatility Smile.