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La valeur des actifs financiers varie quotidiennement. Les investisseurs ont besoin d'un indicateur pour quantifier ces mouvements qui sont souvent difficiles à prévoir. L'offre et la demande sont les deux principaux facteurs qui influent sur les variations des prix des actifs. En retour, les mouvements de prix reflètent une amplitude de fluctuations qui sont la cause des profits et des pertes proportionnels. Du point de vue de l'investisseur, l'incertitude entourant de telles influences et fluctuations est appelée risque.
Le prix d'une option dépend de sa capacité sous-jacente à se déplacer ou non, ou en d'autres termes, de sa capacité à être volatile. Plus il est probable de déménager, plus sa prime sera élevée et plus elle sera expirée. Ainsi, calculer la volatilité d'un actif sous-jacent est bon pour comprendre comment évaluer les dérivés à partir de cet actif.
I - Mesure de la variation de l'actif
Une façon de mesurer la variation d'un actif consisterait à quantifier les rendements quotidiens (déplacement en pourcentage sur une base quotidienne) de l'actif. Cela nous amène à définir et à discuter du concept de volatilité historique.
II - Définition
La volatilité historique est basée sur les cours historiques et représente le degré de variabilité des rendements d'un actif. Ce nombre est sans unité et exprimé en pourcentage. (Pour en savoir plus, voir: Ce que signifie vraiment la volatilité .)
III - Calcul de la volatilité historique
Si nous appelons P (t), le prix d'un actif financier (actif de change, actions , paire de devises, etc.) à l'instant t et P (t-1) le prix de l'actif financier à t-1, nous définissons le rendement quotidien r (t) de l'actif à l'instant t par:
r (t) = ln (P (t) / P (t-1)) avec Ln (x) = fonction logarithmique naturelle.
Le rendement total R à l'instant t est donc:
R = r1 + r2 + r3 + 2 + … + rt-1 + rt ce qui équivaut à:
R = Ln (P1 / P0) + … Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)
On a l'égalité suivante:
Ln (a) + Ln (b) = Ln (a * b) > Donc, ceci donne:
R = Ln [(P1 / P0 * (P2 / P1) * … (Pt / Pt-1]
R = Ln [(P1 … P2 … Pt-1 .Pt) / (P0, P1, P2 … Pt-2, Pt-1)]
Et après simplification, nous obtenons R = Ln (Pt / P0).
Le rendement est habituellement calculé comme la différence des changements de prix relatifs Cela signifie que si un actif a un prix de P (t) à l'instant t et P (t + h) à l'instant t + h> t, r le retour est:
r ≈ Ln (1 + r)
Nous pouvons substituer r au logarithme du prix actuel depuis:
r ≈ Ln (1 + r)
r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] - 1))
r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))
A partir d'une série de fermetures les prix par exemple, il suffit de prendre le logarithme du rapport de deux prix consécutifs pour calculer les rendements quotidiens r (t).
Ainsi, on peut également calculer le rendement total R en utilisant uniquement les prix initial et final.
▪ Volatilité annualiséePour apprécier pleinement les différentes volatilités sur une période d'un an, nous multiplions cette volatilité obtenue ci-dessus par un facteur qui tient compte de la variabilité des actifs pour une année.
Pour ce faire, nous utilisons la variance. La variance est le carré de l'écart par rapport à la moyenne des rendements quotidiens pour un jour.
Pour calculer le nombre carré des écarts par rapport à la moyenne des rendements quotidiens pendant 365 jours, nous multiplierons la variance par le nombre de jours (365). L'écart type annualisé se trouve en prenant la racine carrée du résultat:
Variance = σ²daily = [Σ (r (t)) ² / (n - 1)]Pour la variance annualisée, si l'on suppose que l'année est de 365 jours, et chaque jour a la même variance quotidienne σ²daily nous obtenons:
Variance annualisée = 365. σ²daily
Variance annualisée = 365. [Σ (r (t)) ² / (n - 1) ]
Enfin, comme la volatilité est définie comme la racine carrée de la variance:
Volatilité = √ (variance annualisée)
Volatilité = √ (365. d²daily)
Volatilité = √ (365 [Σ ( r (t)) ² / (n - 1)])
Simulation
■ Les données
Nous simulons à partir de la fonction Excel =
RANDBETWEEN
un cours de bourse variant quotidiennement entre 94 et 104. Résultat: ■ Calcul des retours quotidiens
Dans la colonne E, entrez "Ln (P (t) / P (t-1))".
■ Calcul de Carré des rendements quotidiens
Dans la colonne G, nous entrons "(Ln (P (t) / P (t-1)) ^ 2."
■ Calcul de la variance quotidienne
Pour calculer le variance, nous obtenons la somme des carrés obtenus et divisons par le (nombre de jours -1). Donc:
- Dans la cellule F25 nous obtenons "= sum (F6: F19)."
- Dans la cellule F26 est calculé "= F25 / 18", puisque nous avons 19 -1 points de données à prendre pour ce calcul.
■
Calcul de l'écart-type quotidien
Pour calculer l'écart-type sur une base quotidienne, nous devons calculer la racine carrée de la variance quotidienne. Donc: - Dans la cellule F28 est calculé "= Carré, Racine (F26)."
- Dans la cellule G29, F28 est indiqué en pourcentage.
■ Calcul de la variance annualisée
Pour calculer la variance annualisée à partir de la variance quotidienne, on suppose que chaque jour a la même variance et on multiplie la variance quotidienne par 365 avec les week-ends inclus. Donc:
- Dans la cellule F30 nous avons "= F26 * 365".
■ Calcul de l'écart-type annualisé
Pour calculer l'écart-type annualisé, il suffit de calculer la racine carrée de la variance annualisée . Donc:
- Dans la cellule F32 nous obtenons "= ROOT (F30)."
- Dans la cellule G33, F32 est affiché en pourcentage.
Cette racine carrée de la variance annualisée nous donne la volatilité historique.
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